INTERPOLASI

Pada analisis regresi, kurve atau fungsi yang dibuat digunakan untuk mempresentasikan suatu rangkaian titik data dalam koordinat x-y. Kurve atau garis lurus yang terbentuk tidak melalui semua titik data akan tetapi hanya kecenderungan (trend) saja dari sebaran data, sedang pada interpolasi dicari suatu nilai yang berada diantara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya. Untuk dapat memperkirakan nilai tersebut, pertama kali dibuat suatu fungsi atau persamaan yang melalui titik-titik data, setelah persamaan garis atau kurve terbentuk, kemudian dihitung nilai fungsi yang berada di antara titik-titik data.

Pada Gambar 6.1, menunjukkan sket kurve yang dibuat dari data yang sama dengan cara regresi (Gambar 6.1a) dan interpolasi (Gambar 6.1b dan Gambar 6.1c). Kurve pada Gambar 6.1a, tidak melalui semua titik pengukuran, tetapi hanya mengikuti trend dari data menurut garis lurus. Gambar 6.1b, menggunakan segmen garis lurus atau interpolasi linier untuk menghubungkan titik-titik data, sedang Gambar 6.1c, menggunakan kurve untuk menghubungkan titik-titik data.

Metode interpolasi yang sering digunakan adalah interpolasi polinomial. Persamaan polinomial adalah persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer). Bentuk umum persamaan polinomial order n adalah:

                        f (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ                                                            (6.1)

dengan a_0, a₁, a₂, …, a_n adalah parameter yang akan dicari berdasarkan titik data, n adalah derajat (order) dari persamaan polinomial, dan x adalah variabel bebas.

Untuk (n + 1) titik data, hanya terdapat satu atau kurang polinomial order n yang melalui semua titik. Misalnya, hanya ada satu garis lurus (polinomial order 1) yang menghubungkan dua titik (Gambar 6.2a), demikian juga tiga buah titik dapat dihubungkan oleh fungsi parabola (polinomial order 2), sedang untuk 4 titik dapat dilalui kurve polinomial order 3, seperti terlihat dalam Gambar 6.2b dan Gambar 6.2c. Di dalam operasi interpolasi ditentukan suatu persamaan polinomial order n yang melalui (n + 1) titik data, yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai diantara titik data tersebut.

Pada polinomial berderajat satu, diperoleh bentuk interpolasi linier yang sudah banyak dikenal. Interpolasi linier memberikan hasil yang kurang teliti, sedang interpolasi polinomial dengan derajat lebih besar dari satu yang merupakan fungsi tidak linier memberikan hasil yang lebih baik.

6.1  Interpolasi Linier

Bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua buah titik data dengan garis lurus. Metode ini disebut dengan interpolasi linier yang dapat dijelaskan dengan Gambar 6.3.

GAMBAR INTERPOLASI POLINOMIAL DAN LINIER



Diketahui nilai suatu fungsi di titik x₀ dan x₁, yaitu f (x₀) dan f (x₁). Dengan metode interpolasi linier akan dicari nilai fungsi di titik x, yaitu f₁(x). Indeks 1 pada f₁(x) menunjukkan bahwa interpolasi dilakukan dengan interpolasi polinomial order satu.

Dari dua segitiga sebangun ABC dan ADE seperti tampak dalam Gambar 6.3, terdapat hubungan berikut:

                          

                 

                                                                   (6.2)

Persamaan (6.2) adalah rumus interpolasi linier, yang merupakan bentuk interpolasi polinomial order satu. Suku [f (x₁) - f (x₀)] / (x₁ - x₀) adalah kemiringan garis yang menghubungkan dua titik data dan merupakan perkiraan beda hingga dari turunan pertama. Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan akan semakin baik.